MATEMÁTICA – ULBRA TORRES/RS.
PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Prof.Ms. Rosane S. Zeferino, Orientadora da Cadeira Matemática II
RESUMO, elaborado por Claudio Cunha, foi mantido o texto original, PORTUGUÊS DE PORTUGAL..
Excerto da intervenção do vice-presidente da SPM Filipe Oliveira, na conferência "Ensino da Matemática: Questões e Soluções", organizada pela Fundação Calouste Gulbenkian, nos dias 17 e 18 de Novembro de 2008.
"Rigor versus intuição". Rigor e intuição são, à partida, dois conceitos que tenho muita dificuldade de ver em oposição. De facto, qualquer matemático dirá que sem intuição não há Matemática. Sem intuição não podemos abordar um problema novo (...). A intuição é o que nos permite vislumbrar estruturas ainda desconhecidas, percebê-las de maneira, digamos, muito subjectiva, muito etérea, muito pouco como a intuição é um instrumento de trabalho indispensável para matemáticos, mas também para alunos em fase de aprendizagem concretizada. No entanto, o que é interessante é que há aqui um paradoxo: também qualquer matemático dirá que quando ataca, quando aborda um problema novo, as primeiras intuições que tem estão com frequência erradas, pelo menos de forma parcial. No momento de escrever rigorosamente os nossos argumentos deparamo-nos com contrariedades e dificuldades que não tínhamos equacionado inicialmente na nossa construção intuitiva (...).
Assim, para concluir sobre esta questão do rigor e da intuição, digo que a segunda sem a primeira não tem qualquer valor, e que um ensino de Matemática que nada tem de rigoroso não é de facto Ensino de Matemática. Muitos pedagogos da situação consideram que estas ideias datam dos anos 50, cheiram a mofo e estão ultrapassadas. De facto enganam-se, estas ideias são bem mais antigas: têm 2500 anos e não 50, e constituem o próprio corpo da Matemática e toda a herança que nos foi deixada através dos séculos. É necessário que todo o Ensino Secundário seja totalmente e formalmente rigoroso? Não, e provavelmente nem seria desejável, mas é fulcral que pelo menos uma parte o seja.
Gostaria ainda de comentar brevemente a segunda dicotomia sugerida, "Actividades exploratórias versus Ensino estruturado". Mais uma vez não creio que se trate de uma verdadeira dicotomia. Sabemos que um ensino obstinadamente exploratório é pouco estruturado e tende a saltar etapas de aprendizagem indispensáveis. As actividades exploratórias podem e devem ajudar no Ensino, mas não podem ser um fim em si. Caso contrário, caímos nas ideias construtivistas que misturam os conceitos de maneira absolutamente confusa, em que se anda para a frente, se anda para trás, se anda para o lado e não se percebe o que se está a fazer, nem se chega a conclusão alguma! É a ideia da "investigação na sala de aula", conceito muito comum em certas correntes da pedagogia falsamente moderna, que pretende que o aluno redescubra os conceitos científicos por si próprio. Obviamente, trata-se de uma ideia muito disparatada. Pensemos na noção de convergência de uma sucessão. Foi preciso esperar séculos até que alguém nos viesse colocar as ideias no lugar. Não me venham pois dizer que é manipulando umas sucessões, eventualmente com recurso a "novas tecnologias", calculadoras e quadros interactivos, que os alunos vão perceber qual é a ideia correcta de limite. Isto é totalmente impossível. Só com um ensino estruturado e por vezes centrado no professor é que se consegue atingir o milagre do ensino. De que milagre estou a falar? No facto extremamente curioso de ser possível transmitir à geração seguinte tudo que necessitou de séculos para ser percebido. É de facto muito estranho que isto seja possível, mas é esta nossa capacidade de absorver os conhecimentos das gerações anteriores que possibilita sequer a ideia de civilização. Temos o dever de transmitir estes conhecimentos aos nossos alunos, e não brincar às investigações em sala de aula, sacrificando o corpo de conhecimentos acumulados que são o verdadeiro património da humanidade. (...) Como eu disse, as actividades exploratórias podem ajudar, mas não podem ser um fim em si. Por outro lado, contrariamente aos "especialistas" que defendem essa ideia mas que não entram numa sala de aula, qualquer professor do ensino básico e secundário sabe que nem sequer é viável, por questões de tempo, introduzir sistematicamente a matéria desta forma e de seguida fazer a necessária síntese.
Muitas vezes os matemáticos são vistos como seres alienados e desligados da realidade, que abominam toda e qualquer actividade exploratória mais prática. Isto não corresponde à verdade: trata-se apenas de um truque retórico para afastar os cientistas dos debates sobre o Ensino, estratégia que infelizmente tem resultado.
PESQUISA COMPARATIVA RIGOR X INTUIÇÃO
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/poincare/intlog.htm
Para Poincaré, estas duas "espécies de espíritos" são igualmente necessárias ao progresso da ciência. Tanto os lógicos como os intuitivos realizaram feitos que os outros não teriam conseguido realizar. Quem ousaria dizer que teria sido melhor que Weierstrass (matemático analítico que viveu entre 1815 e 1897) nada tivesse escrito ou que Riemann (matemático intuitivo que viveu entre 1826 e 1866) não tivesse existido? A análise e a síntese têm ambas o seu legítimo papel na criação matemática.
No sentido de clarificar o papel de cada uma delas, Poincaré começa por afirmar que não é possível obter rigor, nem mesmo certeza, com a intuição. Cada vez temos vindo a perceber que o rigor não poderia ser introduzido nos raciocínios sem, em primeiro lugar, entrar nas definições. Ora, durante muito tempo os objetos que os matemáticos estudavam estavam, na sua maior parte, mal definidos. Pensavamos conhecê-los porque os conseguiamos representar com o auxílio dos sentidos e da imaginação. No entanto, a imagem que deles se tinha era grosseira, não uma ideia precisa sobre a qual o raciocínio pudesse incidir. Foi nesse sentido que os "espíritos lógicos" tiveram de dirigir, em primeiro lugar, os seus esforços.
Posto isto, para este eminente matemático, coloca-se ainda, e, em nosso entender, de forma muitíssimo pertinente, a seguinte questão: terá esta evolução terminado?. Isto é, teremos atingido, enfim, o rigor absoluto? Os nossos antepassados, em cada estádio do seu conhecimento, acreditaram também tê-lo alcançado. Se eles se enganaram, não nos enganaremos nós, tal como eles?
Poincaré discute magistralmente esta questão. Na sua obra La Valeur de la Science, dá razão aos filósofos quando afirma que "a lógica pura nos conduz sempre, e apenas, a tautologias; nada de novo poderá ser criado exclusivamente a partir dela; ciência alguma pode nascer apenas da lógica." (Poincaré, 1970:32)
Neste sentido apresenta a seguinte tese: "para produzir aritmética, tal como para produzir geometria, é necessário algo mais que lógica pura. E não temos outro termo para designar este algo senão intuição." (Poincaré, 1970:32)
A lógica só por si não basta. A ciência da demonstração não é toda a ciência. A intuição tem que conceder o seu papel de complemento, contrapeso ou antídoto da lógica. A este respeito, é interessante sublinhar que Poincaré defendeu, em várias ocasiões, que a intuição deve ter um lugar preponderante no ensino das matemáticas. Sem ela, os espíritos ainda jovens não teriam meios de aceder ao entendimento da matemática; não aprenderiam a gostar dela e vê-la-iam apenas como uma vã logomaquia. Além disso, sem a intuição nunca viriam a ser capazes de aplicar a matemática.
Contudo, se a intuição é útil ao estudante, é-o, no entender de Poincaré, ainda mais ao sábio criador. Na verdade, a lógica permite decompor cada demonstração num número muito grande de operações elementares. Mas, depois de examinarmos e constatarmos a correção de cada uma dessas operações, teremos por isso compreendido o verdadeiro sentido da demonstração? E, tê-lo-emos compreendido quando, com grande esforço de memória, formos capazes de repetir a dita demonstração, reproduzindo todas as operações elementares pela mesma ordem com que o seu inventor as ordenara?
Poincaré responde sabiamente que não. Em sua opinião, a análise pura coloca à nossa disposição uma grande quantidade de procedimentos cuja infalibilidade nos garante. Abre-nos mil caminhos diferentes em que podemos estar certos de não encontrar obstáculos. No entanto, de todos esses caminhos, qual será aquele que mais rapidamente nos conduzirá ao fim pretendido? Quem nos dirá qual deles escolher? Precisamos de uma faculdade que tal como a que é necessária ao explorador para escolher a sua rota, nos faça ver à distância esse fim. Essa faculdade é a intuição.
Assim, o matemático conclui que a lógica e a intuição têm, cada uma delas, o seu papel. "Ambas se revelam indispensáveis. A lógica, que é a única que nos pode fornecer a certeza, é o instrumento da demonstração; a intuição é o instrumento da invenção." (Poincaré, 1970:37)
Intuição Matemática 2
(Extracted from Chaos and Harmony, Trinh Xuan Thuan, University of Virginia, Oxford university press, 200).
Com retumbante facilidade resultados novos e surpreendentes, baseados não em quaisquer provas racionais, mas unicamente pela intuição. Geralmente levam longos anos de árduos trabalhos para dar a tais resultados intuitivos um fundamento lógico mais rigoroso. É como se estes brilhantes matemáticos tivessem tido acesso direto ao mundo das Idéias, capacitando-os a contornar o laborioso e tortuoso caminho do pensamento racional. Existem muitos de tais exemplos.
Na sua última carta-testamento, escrita na véspera do duelo que levaria sua vida, o matemático francês Évariste Galois (1811-1832) mencionou um teorema sobre integrais que não seria provado até vinte e cinco anos após sua morte.
Outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665), rabiscou nas margens de um pedaço de papel, quase como um pensamento ulterior, um teorema cuja primeira prova completa não seria completada somente em 1994 e exigida centenas de páginas de cálculo.
Talvez a ilustração mais famosa e extraordinária de intuição matemática seja o caso do matemático indiano Strinivasa Ramanujan (1887-1920). Nascido de uma família pobre na cidade de Madras, na India meridional, Ramanujan recebeu uma educação formal muito limitada. Grandemente autodidata, isolado de outros matemáticos, ele redescobriu tudo por si mesmo e com seus próprios métodos, muitos resultados matemáticos famosos, forjando sua própria trilha no processo. Com sua aproximação não convencional à matemática, ele também descobriu um grande número de teoremas completamente novos, de uma maneira intuitiva e sem prova rigorosa. O matemático britânico Godfrey Hardy (1877-1947) ficou espantado quando ele teve conhecimento do trabalho de Ramanujan: "Eu nunca tinha visto coisa igual. Estes teoremas só podiam ter vindo da mente de um matemático do mais alto calibre." Hardy teve de exibir todo seu considerável talento para provar somente uns poucos destes teoremas. Quanto ao resto ele teve de admitir derrota, conjeturando que "eles devem ser verdadeiros, pois ninguém teria bastante imaginação para compô-los." Ele ainda acrescentou: "No projeto cujas regras ele sabe, Ramanujan bateria folgado qualquer outro matemático."(continua).
(Extracted from Chaos and Harmony, Trinh Xuan Thuan, University of Virginia, Oxford university press, 200).
http://www.artigonal.com/ciencias-artigos/intuicao-matematica-2-3811526.html
Na sua última carta-testamento, escrita na véspera do duelo que levaria sua vida, o matemático francês Évariste Galois (1811-1832) mencionou um teorema sobre integrais que não seria provado até vinte e cinco anos após sua morte.
Outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665), rabiscou nas margens de um pedaço de papel, quase como um pensamento ulterior, um teorema cuja primeira prova completa não seria completada somente em 1994 e exigida centenas de páginas de cálculo.
Talvez a ilustração mais famosa e extraordinária de intuição matemática seja o caso do matemático indiano Strinivasa Ramanujan (1887-1920). Nascido de uma família pobre na cidade de Madras, na India meridional, Ramanujan recebeu uma educação formal muito limitada. Grandemente auto didata, isolado de outros matemáticos, ele redescobriu tudo por si mesmo e com seus próprios métodos, muitos resultados matemáticos famosos, forjando sua própria trilha no processo. Com sua aproximação não convencional à matemática, ele também descobriu um grande número de teoremas completamente novos, de uma maneira intuitiva e sem prova rigorosa. O matemático britânico Godfrey Hardy (1877-1947) ficou espantado quando ele teve conhecimento do trabalho de Ramanujan: "Eu nunca tinha visto coisa igual. Estes teoremas só podiam ter vindo da mente de um matemático do mais alto calibre." Hardy teve de exibir todo seu considerável talento para provar somente uns poucos destes teoremas. Quanto ao resto ele teve de admitir derrota, conjeturando que "eles devem ser verdadeiros, pois ninguém teria bastante imaginação para compô-los." Ele ainda acrescentou: "No projeto cujas regras ele sabe, Ramanujan bateria folgado qualquer outro matemático."
Concluíndo, “ ... Não me venham pois dizer que é manipulando umas sucessões , eventualmente com recursos a “novas tecnologias” , calculadoras e quadros interativos, que os alunos vão perceber qual é a idéia correta de limite. Isso é totalmente impossível. Só com um ensino estruturado e por vezes centrado no professor é que se consegue atingir o milagre do ensino.”
Logo...” as atividades exploratórias podem ajudar, mas não podem ser um fim em si. Por outro lado, contrariamente aos “especialistas” que defendem essa idéia mas que não entram numa sala de aula, qualquer professor do ensino básico e secundário sabe que nem sequer é viável, por questões de tempo, introduzir sistematicamente a matéria desta forma e de seguida fazer a necessária síntese”.
Claudio Lovenir da Cunha.
PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
Prof.Ms. Rosane S. Zeferino, Orientadora da Cadeira Matemática II
RESUMO, elaborado por Claudio Cunha, foi mantido o texto original, PORTUGUÊS DE PORTUGAL..
Excerto da intervenção do vice-presidente da SPM Filipe Oliveira, na conferência "Ensino da Matemática: Questões e Soluções", organizada pela Fundação Calouste Gulbenkian, nos dias 17 e 18 de Novembro de 2008.
"Rigor versus intuição". Rigor e intuição são, à partida, dois conceitos que tenho muita dificuldade de ver em oposição. De facto, qualquer matemático dirá que sem intuição não há Matemática. Sem intuição não podemos abordar um problema novo (...). A intuição é o que nos permite vislumbrar estruturas ainda desconhecidas, percebê-las de maneira, digamos, muito subjectiva, muito etérea, muito pouco como a intuição é um instrumento de trabalho indispensável para matemáticos, mas também para alunos em fase de aprendizagem concretizada. No entanto, o que é interessante é que há aqui um paradoxo: também qualquer matemático dirá que quando ataca, quando aborda um problema novo, as primeiras intuições que tem estão com frequência erradas, pelo menos de forma parcial. No momento de escrever rigorosamente os nossos argumentos deparamo-nos com contrariedades e dificuldades que não tínhamos equacionado inicialmente na nossa construção intuitiva (...).
Assim, para concluir sobre esta questão do rigor e da intuição, digo que a segunda sem a primeira não tem qualquer valor, e que um ensino de Matemática que nada tem de rigoroso não é de facto Ensino de Matemática. Muitos pedagogos da situação consideram que estas ideias datam dos anos 50, cheiram a mofo e estão ultrapassadas. De facto enganam-se, estas ideias são bem mais antigas: têm 2500 anos e não 50, e constituem o próprio corpo da Matemática e toda a herança que nos foi deixada através dos séculos. É necessário que todo o Ensino Secundário seja totalmente e formalmente rigoroso? Não, e provavelmente nem seria desejável, mas é fulcral que pelo menos uma parte o seja.
Gostaria ainda de comentar brevemente a segunda dicotomia sugerida, "Actividades exploratórias versus Ensino estruturado". Mais uma vez não creio que se trate de uma verdadeira dicotomia. Sabemos que um ensino obstinadamente exploratório é pouco estruturado e tende a saltar etapas de aprendizagem indispensáveis. As actividades exploratórias podem e devem ajudar no Ensino, mas não podem ser um fim em si. Caso contrário, caímos nas ideias construtivistas que misturam os conceitos de maneira absolutamente confusa, em que se anda para a frente, se anda para trás, se anda para o lado e não se percebe o que se está a fazer, nem se chega a conclusão alguma! É a ideia da "investigação na sala de aula", conceito muito comum em certas correntes da pedagogia falsamente moderna, que pretende que o aluno redescubra os conceitos científicos por si próprio. Obviamente, trata-se de uma ideia muito disparatada. Pensemos na noção de convergência de uma sucessão. Foi preciso esperar séculos até que alguém nos viesse colocar as ideias no lugar. Não me venham pois dizer que é manipulando umas sucessões, eventualmente com recurso a "novas tecnologias", calculadoras e quadros interactivos, que os alunos vão perceber qual é a ideia correcta de limite. Isto é totalmente impossível. Só com um ensino estruturado e por vezes centrado no professor é que se consegue atingir o milagre do ensino. De que milagre estou a falar? No facto extremamente curioso de ser possível transmitir à geração seguinte tudo que necessitou de séculos para ser percebido. É de facto muito estranho que isto seja possível, mas é esta nossa capacidade de absorver os conhecimentos das gerações anteriores que possibilita sequer a ideia de civilização. Temos o dever de transmitir estes conhecimentos aos nossos alunos, e não brincar às investigações em sala de aula, sacrificando o corpo de conhecimentos acumulados que são o verdadeiro património da humanidade. (...) Como eu disse, as actividades exploratórias podem ajudar, mas não podem ser um fim em si. Por outro lado, contrariamente aos "especialistas" que defendem essa ideia mas que não entram numa sala de aula, qualquer professor do ensino básico e secundário sabe que nem sequer é viável, por questões de tempo, introduzir sistematicamente a matéria desta forma e de seguida fazer a necessária síntese.
Muitas vezes os matemáticos são vistos como seres alienados e desligados da realidade, que abominam toda e qualquer actividade exploratória mais prática. Isto não corresponde à verdade: trata-se apenas de um truque retórico para afastar os cientistas dos debates sobre o Ensino, estratégia que infelizmente tem resultado.
PESQUISA COMPARATIVA RIGOR X INTUIÇÃO
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/poincare/intlog.htm
Para Poincaré, estas duas "espécies de espíritos" são igualmente necessárias ao progresso da ciência. Tanto os lógicos como os intuitivos realizaram feitos que os outros não teriam conseguido realizar. Quem ousaria dizer que teria sido melhor que Weierstrass (matemático analítico que viveu entre 1815 e 1897) nada tivesse escrito ou que Riemann (matemático intuitivo que viveu entre 1826 e 1866) não tivesse existido? A análise e a síntese têm ambas o seu legítimo papel na criação matemática.
No sentido de clarificar o papel de cada uma delas, Poincaré começa por afirmar que não é possível obter rigor, nem mesmo certeza, com a intuição. Cada vez temos vindo a perceber que o rigor não poderia ser introduzido nos raciocínios sem, em primeiro lugar, entrar nas definições. Ora, durante muito tempo os objetos que os matemáticos estudavam estavam, na sua maior parte, mal definidos. Pensavamos conhecê-los porque os conseguiamos representar com o auxílio dos sentidos e da imaginação. No entanto, a imagem que deles se tinha era grosseira, não uma ideia precisa sobre a qual o raciocínio pudesse incidir. Foi nesse sentido que os "espíritos lógicos" tiveram de dirigir, em primeiro lugar, os seus esforços.
Posto isto, para este eminente matemático, coloca-se ainda, e, em nosso entender, de forma muitíssimo pertinente, a seguinte questão: terá esta evolução terminado?. Isto é, teremos atingido, enfim, o rigor absoluto? Os nossos antepassados, em cada estádio do seu conhecimento, acreditaram também tê-lo alcançado. Se eles se enganaram, não nos enganaremos nós, tal como eles?
Poincaré discute magistralmente esta questão. Na sua obra La Valeur de la Science, dá razão aos filósofos quando afirma que "a lógica pura nos conduz sempre, e apenas, a tautologias; nada de novo poderá ser criado exclusivamente a partir dela; ciência alguma pode nascer apenas da lógica." (Poincaré, 1970:32)
Neste sentido apresenta a seguinte tese: "para produzir aritmética, tal como para produzir geometria, é necessário algo mais que lógica pura. E não temos outro termo para designar este algo senão intuição." (Poincaré, 1970:32)
A lógica só por si não basta. A ciência da demonstração não é toda a ciência. A intuição tem que conceder o seu papel de complemento, contrapeso ou antídoto da lógica. A este respeito, é interessante sublinhar que Poincaré defendeu, em várias ocasiões, que a intuição deve ter um lugar preponderante no ensino das matemáticas. Sem ela, os espíritos ainda jovens não teriam meios de aceder ao entendimento da matemática; não aprenderiam a gostar dela e vê-la-iam apenas como uma vã logomaquia. Além disso, sem a intuição nunca viriam a ser capazes de aplicar a matemática.
Contudo, se a intuição é útil ao estudante, é-o, no entender de Poincaré, ainda mais ao sábio criador. Na verdade, a lógica permite decompor cada demonstração num número muito grande de operações elementares. Mas, depois de examinarmos e constatarmos a correção de cada uma dessas operações, teremos por isso compreendido o verdadeiro sentido da demonstração? E, tê-lo-emos compreendido quando, com grande esforço de memória, formos capazes de repetir a dita demonstração, reproduzindo todas as operações elementares pela mesma ordem com que o seu inventor as ordenara?
Poincaré responde sabiamente que não. Em sua opinião, a análise pura coloca à nossa disposição uma grande quantidade de procedimentos cuja infalibilidade nos garante. Abre-nos mil caminhos diferentes em que podemos estar certos de não encontrar obstáculos. No entanto, de todos esses caminhos, qual será aquele que mais rapidamente nos conduzirá ao fim pretendido? Quem nos dirá qual deles escolher? Precisamos de uma faculdade que tal como a que é necessária ao explorador para escolher a sua rota, nos faça ver à distância esse fim. Essa faculdade é a intuição.
Assim, o matemático conclui que a lógica e a intuição têm, cada uma delas, o seu papel. "Ambas se revelam indispensáveis. A lógica, que é a única que nos pode fornecer a certeza, é o instrumento da demonstração; a intuição é o instrumento da invenção." (Poincaré, 1970:37)
Intuição Matemática 2
(Extracted from Chaos and Harmony, Trinh Xuan Thuan, University of Virginia, Oxford university press, 200).
Com retumbante facilidade resultados novos e surpreendentes, baseados não em quaisquer provas racionais, mas unicamente pela intuição. Geralmente levam longos anos de árduos trabalhos para dar a tais resultados intuitivos um fundamento lógico mais rigoroso. É como se estes brilhantes matemáticos tivessem tido acesso direto ao mundo das Idéias, capacitando-os a contornar o laborioso e tortuoso caminho do pensamento racional. Existem muitos de tais exemplos.
Na sua última carta-testamento, escrita na véspera do duelo que levaria sua vida, o matemático francês Évariste Galois (1811-1832) mencionou um teorema sobre integrais que não seria provado até vinte e cinco anos após sua morte.
Outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665), rabiscou nas margens de um pedaço de papel, quase como um pensamento ulterior, um teorema cuja primeira prova completa não seria completada somente em 1994 e exigida centenas de páginas de cálculo.
Talvez a ilustração mais famosa e extraordinária de intuição matemática seja o caso do matemático indiano Strinivasa Ramanujan (1887-1920). Nascido de uma família pobre na cidade de Madras, na India meridional, Ramanujan recebeu uma educação formal muito limitada. Grandemente autodidata, isolado de outros matemáticos, ele redescobriu tudo por si mesmo e com seus próprios métodos, muitos resultados matemáticos famosos, forjando sua própria trilha no processo. Com sua aproximação não convencional à matemática, ele também descobriu um grande número de teoremas completamente novos, de uma maneira intuitiva e sem prova rigorosa. O matemático britânico Godfrey Hardy (1877-1947) ficou espantado quando ele teve conhecimento do trabalho de Ramanujan: "Eu nunca tinha visto coisa igual. Estes teoremas só podiam ter vindo da mente de um matemático do mais alto calibre." Hardy teve de exibir todo seu considerável talento para provar somente uns poucos destes teoremas. Quanto ao resto ele teve de admitir derrota, conjeturando que "eles devem ser verdadeiros, pois ninguém teria bastante imaginação para compô-los." Ele ainda acrescentou: "No projeto cujas regras ele sabe, Ramanujan bateria folgado qualquer outro matemático."(continua).
(Extracted from Chaos and Harmony, Trinh Xuan Thuan, University of Virginia, Oxford university press, 200).
http://www.artigonal.com/ciencias-artigos/intuicao-matematica-2-3811526.html
Na sua última carta-testamento, escrita na véspera do duelo que levaria sua vida, o matemático francês Évariste Galois (1811-1832) mencionou um teorema sobre integrais que não seria provado até vinte e cinco anos após sua morte.
Outro matemático francês, Pierre de Fermat (1601-1665), rabiscou nas margens de um pedaço de papel, quase como um pensamento ulterior, um teorema cuja primeira prova completa não seria completada somente em 1994 e exigida centenas de páginas de cálculo.
Talvez a ilustração mais famosa e extraordinária de intuição matemática seja o caso do matemático indiano Strinivasa Ramanujan (1887-1920). Nascido de uma família pobre na cidade de Madras, na India meridional, Ramanujan recebeu uma educação formal muito limitada. Grandemente auto didata, isolado de outros matemáticos, ele redescobriu tudo por si mesmo e com seus próprios métodos, muitos resultados matemáticos famosos, forjando sua própria trilha no processo. Com sua aproximação não convencional à matemática, ele também descobriu um grande número de teoremas completamente novos, de uma maneira intuitiva e sem prova rigorosa. O matemático britânico Godfrey Hardy (1877-1947) ficou espantado quando ele teve conhecimento do trabalho de Ramanujan: "Eu nunca tinha visto coisa igual. Estes teoremas só podiam ter vindo da mente de um matemático do mais alto calibre." Hardy teve de exibir todo seu considerável talento para provar somente uns poucos destes teoremas. Quanto ao resto ele teve de admitir derrota, conjeturando que "eles devem ser verdadeiros, pois ninguém teria bastante imaginação para compô-los." Ele ainda acrescentou: "No projeto cujas regras ele sabe, Ramanujan bateria folgado qualquer outro matemático."
Concluíndo, “ ... Não me venham pois dizer que é manipulando umas sucessões , eventualmente com recursos a “novas tecnologias” , calculadoras e quadros interativos, que os alunos vão perceber qual é a idéia correta de limite. Isso é totalmente impossível. Só com um ensino estruturado e por vezes centrado no professor é que se consegue atingir o milagre do ensino.”
Logo...” as atividades exploratórias podem ajudar, mas não podem ser um fim em si. Por outro lado, contrariamente aos “especialistas” que defendem essa idéia mas que não entram numa sala de aula, qualquer professor do ensino básico e secundário sabe que nem sequer é viável, por questões de tempo, introduzir sistematicamente a matéria desta forma e de seguida fazer a necessária síntese”.
Claudio Lovenir da Cunha.
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